0,999.. = 1

Bill_visar_vägen
Det är verkligen inte felaktigt. Och onödigt långt? Det algeraiska beviset är bland de kortaste bevis jag sett och det "behövs ju". Titta bara på hur många som inte tror på det som visas.

Förövrigt har bevisens längd inget med deras legimitet att göra. Har själv studerat matte på hög nivå och det finns bevis som är en A4 långa. I detta fallet är ju dessutom bevisen korta och koncisa och inga cirkelresonemang alls...

Jakob
vad ser du som hög nivå?

Kolla nu ! Så här funkar det..

1 - 0.999... = 0.001

0.001.... I oändlighet är lika med 0..
Eftersom det är onädligt många 0 så kommer du aldrig kunna
komma fram till den 1an.. Så 0.000000000 fortsätter ju hur länge som helst. Det tar ju aldrig slut..

Så 0 är lika med 0.001..... :D Ni fattar :D?

tassel:Kanske inte överdivet hög men jag har läst matte på Chalmers elektroteknolog-utbildning och då menar jag inte bara ämnet "matematik" utan även sånt som tillämpade diskreta strukturer, optimeringslära och funktionalanalys. Dessutom läst fristående kurser på universitetet... Tyvärr har jag bara degat (läs:arbetat vilket kräver 0 intellekt i mitt fall) de senaste åren så jag har lagt av mig lite...

tassel: Vad har du läst?

Alex2001
Antar att kursnamnen inte säger så mkt, men det är snart 60p ren matematik på LU.

tassel: Jo, kursnamnen säger mycket =) Respekt!

0.999... är inte lika med 1.

Oändligt nära betyder inte att man är enda framme. Känns som att många här blandar ihop konvergerande serier (t.ex. integraler) med ouppräkneliga tal.

Sedan är "bevis" som Refused´s bara löljliga.

1/3 = 0,333...
0,333... * 3 = 0,999... <-- Inte sant 0.333...*3=1
1/3 * 3 = 1

Ljudas:Du har rätt i att 0.33333...*3=1 eftersom 0.999...=1!!! Allvarligt talat så är det ju bara att multiplicera, 3*3=9. Multiplicerar du 0.333... med 3 så får du ju 0.999... .  Tycker det är självklart...

jakob :

?

Tror du missade något...

Det var precis det här jag menade. Du klarar inte att skilja på en konvergerande serie och ett ouppräkneligt tal.

ljudas:? Jag tror det är du som missat något. Jag vet i högsta grad vad en konvergerande serie är. Vad har det med saken att göra???
Vänd på tankeställningen då då. 0.999... är INTE1. Det skulle då betyda att 1-0.999...=x skulle vara skild från noll. Detta lilla tal skulle då representeras som 10^(-n) där n->oändligheten. 10^(-n) där n->oändligheten ÄR 0. (inte ungefär 0 utan just 0 enligt limes teoremet)). Detta lilla tal x är med andra ord 0. Eller är du med på att 0.999... kan skrivas som 9*((1/10)+(1/10)^2+(1/10)^3+...(1/10)^n)??? Eftersom (1/10)<1 så är summan= 9*(1/10)/(1-(1/10))=0.999...->1=0.999...

Ljudas:

Alltså, hur orkar du? Som jag skrivit tusen gånger nu, hur tänker man egentligen när man med sitt "sunda förnuft" kommer fram till att alla matematiker i världen har fel?

0,333... * 3 = 0,999... <-- Inte sant

Eh? Dags för en förklaring kanske? Varje siffra i talet 0,333... multipliceras med 3 och vi får följdaktligen 0,999... för att det inte ska stämma måste 3 * 3 vara skiljt från 9.

jakob & Refused:

Ännu en gång har ni fel. Det som skiljer 1 från 0,999...  är 1 genom oändligheten, vilket är odefinerat.

Om nu 0,999... skulle vara lika med 1 skulle det bryta mot ett av de allra mest grundläggande axiomen som gäller för addition av positiva tal nämligen att om:

a>=0,b>=0 -> a+b>=0

Så det ni påstår är att 1/oändligheten är lika med noll.

Förövrigt är hela problemet felformulerat då det bygger på en paradox, att två tal uttalat skilda från varandra är lika med varandra.

(b!=a) == (b==a)

Ljudas:

Men ärligt talat. Jag cut & pastar:

Alltså, hur orkar du? Som jag skrivit tusen gånger nu, hur tänker man egentligen när man med sitt "sunda förnuft" kommer fram till att alla matematiker i världen har fel?

Var snäll och svara på det.

1 genom oändligheten, vilket är odefinerat.

Odefinierat? Varför då? Tror du blandar ihop det med 1 genom 0.

Jag är ganska säker på att ett heltal genom oändligheten alltid är exakt lika med noll. 1/x går mot noll när x (lim) går mot oändligheten, och om x faktiskt är oändligt så är 1/x noll.

Om nu 0,999... skulle vara lika med 1 skulle det bryta mot ett av de allra mest grundläggande axiomen som gäller för addition av positiva tal nämligen att om:

a>=0,b>=0 -> a+b>=0

Varför skulle det byta mot den axiomen?

Förövrigt är hela problemet felformulerat då det bygger på en paradox, att två tal uttalat skilda från varandra är lika med varandra.

Nej, du missuppfattar. 0,999... och 1 representerar samma tal, och är därför inte skiljda från varandra. Har du ens läst artikeln?

För övrigt glömde du förklara det övernaturliga sätt 0,333... * 3 inte skulle vara lika med 0,999... på.

Jag förstår det som att 0,999... i sig själv inte är detsamma som 1, men när man multiplicerar 0,999... med tex. 10 så borde ju avståndet till 10 vara tio gånger större än avståndet mellan 0,999... och 1. Eftersom avståndet mellan 0,999... och 1 är oändligt litet så blir det ju fortfarande oändligt litet fast man multiplicerar det med 10, eftersom den sista nian (som inte finns) i fråga om ändliga tal skulle falla bort, men när den inte finns är avståndet fortfarande oändligt litet. Därför kan man helt enkelt subtrahera 0,999... från 9.999... och få 9 och på så sätt få det till att 0,999... = 1. Jag har inte ännu riktigt bestämt mig för vilken sida jag står på :D. Man kan tänka det på två sätt.

men detdär med att 10*9.9999.. - 9.9999 = 9 stämmer ju inte om båda 9.9999-talen är lika stora.

Refused
De gånger jag räknat i mängder som faktiskt innehåller oändligheten, vanligtvis C* CU{oo} så definieras c/0 som oo, och c/oo som 0 för alla tal c i C.

för övrigt förstår jag inte var folk får sitt ego ifrån när det gäller matematik...

Refused P26:

Till att börja med är lim en approximation.

1/3 != 0,333... . 0,333... är oändligt nära 1/3. På samma sätt som 0,999... är oändligt nära 1.

lim(x->oo) 1/x går mot noll, men det betyder inte att 1/oo är noll.

Suck slarvar en del, får skylla på att jag hade stressigt på jobbet . Rättar lite:

1/3 != 0,333...
1/3 * 3 = 1
0,333... * 3 = 0,999...

Representerar? Suck... ja i sådant fall kan du säga att både 5 och 9 är samma tal, gäller mod(9).

Rent strikt kan du inte säga att 0,999...=1 är samma tal eftersom att man inte kan teckna samma decimaltal på flera olika sätt.

det är skitskönt att "inte veta vilken sida man står på", den samlade matematikervärldens eller ett par snubbar på whoa utan beläggs, när det gäller matematik.

NEJ!!! 0,3333.... ÄR 1/3 om mängden treor är oändlig, det är ingen uppskattning eller approximation, 0.33 eller 0.333333333333333333333333333333333333333333333 är ungefär 1/3 men 0,333... ÄR 1/3. lim (1/x)=0 när x->oändligheten. Ju större x är, ju mer går funktionen mot 0, när x är oändligt stor så är den noll. Du fattar inte oändlighetsbegreppet...

Ljudas:

Ärligt talat, så länge du ger mig kraftiga skäl att tvivla på din läskunnighet så ser jag ingen anledning att försöka få dig att förstå hur det här funkar. Jag har frågat samma fråga två gånger: var nu snäll och svara på hur du kan tro dig förstå detta bättre än samtliga världens matematiker. Om du upplyser mig på den punkten lovar jag att fortsätta hjälpa till, inte innan. För det är verkligen helt sanslöst.

tassel:

Ja precis, det är vad jag kommer ihåg det som också.

albin:

Eller hur. Helt otroligt.

Qaz:

Decimalföljden är oändlig, därför "fattas" det ingen nia på slutet trots multiplikationen med tio.

I-lands problem för hela slanten, vem fan bryr sig, seriöst?

Alltså, de som inte tror på trådrubriken verkar tro att det räcker med en miljon eller kanske en miljard 9or. Men en miljard delat med oändligheten är också lika med NOLL. Fascinerande egentligen.

johanman har itne tid att svara ordentligt nu..
men när det gäller användningen av limes så når väl aldrig värdet 0?

visa mig den definitionen isf.. för allt jag läst och minns från diverse lärare är att det utrycker ett värde som närmar sig 0 i oändlighet, och således aldrig antar värdet noll utan endast blir infinitivt nära.. infinitesimala helt enkelt?

men rätta mig om jag har fel.. jag är inte den som inte kan ändra mig.. sen måste jag erkänna somsagt att jag trodde tråden först gällde något annat än den kanske gjorde.. man ska inte vara så snabb att döma ;)


johanman, mellan två tal finns det väl alltid ett oändligt antal tal?
men du har missat vad det rörde.. det var ju en helt annan fråga som den biten berörde, nämnligen limes..

jakob så du menar att godtyckliga approximationer med infinitesimala felmarginaler är värdelösa?..

sen har jag angående ditt svar till bill svaga minnen om att det går att storleksordna oändligheter.. typ exponentiella sådana eller något liknande.. men det kan mycket väl vara felaktigt.. har somsagt inget minne av varför det skulle vara så.. bara nått jag hört någon gång någonstans..

Bill, en oändlighet minus en oändlighet är en oändlighet.. om man nu jakob till trots väljer att räkna med dessa..


för övrigt är ju självklart 0.33.. *3 0.99...

men 0.33.. är inte en exakt representation av talet 1/3?
eller hur ställer du dig till det refused?

anser du att man kan återge 0.1(3) exakt i talbasen 10 utan att använda sig utav bråk?

Jakob, detsamma gäller dig.. var inte länge sen jag just läste att talet 0.1(3) intte går att exakt reprentera i talbasen 10 annat än just i bråkform.. att 1/3 = x, och att 3x är 1 kan vi ju vara överrens om, men går det alltså att exakt representera det talet med talbasen 10?

för övrigt förstår jag inte hur x/oo kan bli 0..

det betyder ju följdaktligen att 0 * oo = x,
vilket skulle resultera i att x är 0
och så vitt jag vet så blir det väl rätt körigt med 0 divides? :)

för att göra det lite lågstadie..

om du har ett äpple, och delar det i oändligtantal bitar.. så får du väl ändå inte 0 bitar tillslut?

om x/oo = 0 så måste ju även antalet bitar vara 0 då 0 skulle representera storleken på varje bit.. och om storleken på varje bit är 0 så finns ju inga bitar.. eller? =)

nu ere tillbaks till tentaplugget som gäller
ciao!

joda:Reella tal kan inte vara infinitesmala.

Hur ska du definiera 1/3 i det decimala talsystemet om inte som 0,3333333...??? Det decimala talsystemets begränsningar är väl precis vad det handlar om??? Och det blir ju ingen konflikt eftersom 1=0.999...

Angående oändligheter så menade jag att man inte kan räkna med "oändligheten+1" i bemärkelsen som ett vanligt reellt tal typ oändligheten+1=3x eller nåt sånt. Man kan däremot ofta använda L'hopitals regel för att få ett gränsvärde när man räknar på oändliga tal...

Vidare angående limes. Om vi tar limes f(x) där x->0 så antar inte x värdet 0. Vi kan däremot få ett färde på f(x) när x->0 och DET värdet är exakt, det är hela poängen. f(x)=1/x när x->oändligheten betyder inte att vi kan slänga in oändligheten i funktionen hur som helst, som sagt var kan man inte räkna med oändligheter hur som helst, däremot närmar sig f(x) 0 ju större x blir och när vi DEFINIERAR x som oändligheten (som bör ses som ett begrepp, inte ett tal) så är f(x)=0

om ett genom tre blir 3,333.... borde 3,333... gånger 3 bli ett inte sant?

1/3=3,333...
3,333...*3= 9,999...

vart tar den sista delen vägen?

Friktion:

1/3 borde väl ändå bli 0.333... ?
Vilket gör att 3 * 0333... = 0,999...

Och det var vad hela tråden handlade om, att 0,999... = 1

8.99999999999999999999... = 9

joda:

för att göra det lite lågstadie..

om du har ett äpple, och delar det i oändligtantal bitar.. så får du väl ändå inte 0 bitar tillslut?

Hehe, tillbaka till lågstadiebänken tror jag bestämt ;)

Delar du ett äpple i x bitar får du naturligtvis x bitar, oavsett om x är 1, 100 eller oändligt. Du blandar ihop kvot och nämnare.

för övrigt förstår jag inte hur x/oo kan bli 0..
det betyder ju följdaktligen att 0 * oo = x,
vilket skulle resultera i att x är 0
och så vitt jag vet så blir det väl rätt körigt med 0 divides? :)

För att klarlägga saker och ting.
Till och börja med kan man inte betrakta oändligheten som ett tal, dvs. man kan inte göra de algebraiska operationer som du visar.
Det som gäller är att om du delar ett tal a med en variabel som går mot oändligheten så kommer kvoten gå mot 0.

lim x -> oo     a/x = 0

för att göra det lite lågstadie..
om du har ett äpple, och delar det i oändligtantal bitar.. så får du väl ändå inte 0 bitar tillslut?

Precis som Refused säger så får du inte noll bitar, däremot så kommer bitarna bli oändligt små (dvs. gå mot 0) då du delar äpplet i oändligt många delar.

Rättelse: Du kan inte betrakta oändligheten som ett tal eller en variabel.

Seth
Seriöst sluta hitta på. Man kan visst då betrakta oo som ett tal. Det är så man kompaktifierar C. Då kan man även dela med oändligheten, och noll. Det enda som inte är definierat är 0*oo.

Ytterligare ett tillägg som en del inte riktigt verkar ha greppat:

Storleken på äppelbitarna kommer aldrig bli 0 utan i all oändlighet gå mot 0. Detta eftersom man aldrig kan nå en oändlighet, eftersom det vid varje punkt i en oändlighet finns en oändlighet framför punkten.

1/3 = 0,333..
2/3 = 0,666..
3/3 = 0,999..

är vel inte så svårt att inse?

Seth:

Refused bjuder på nattlektyr

x genom oändligheten är alltså exakt lika med noll.

Whoa, stället där snillen spekulerar. Fnizz fisken

Lägger till detta då för att folk ska se hur man kan räkna på "odefinierade"-oändlighets och "0" prylar. Funkar inte alltid dock...


en.wikipedia.org/wiki/L%27hopital

Whoa, stället där snillen spekulerar. Fnizz fisken

Så här ser det ut överallt i samhället, ingenstans lever folk efter den goda principen att när helst det kan undvikas ska man undvika att tänka själv.

Utan att läsa igenom allt det kloka de flesta av er skrivit så vill jag nog påstå att vi alla kan komma överens om att bråk ger oss med exakta uttryck än vårt decimalsystem. Och det verkar som om decimalsystemet inte har förmåga att uttrycka bråket 1/3 på ett tillfredställande sätt? För jag håller inte med om att 0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=1

För jag håller inte med om

När man talar om trollen...

pjotor: det var inte många nior där ;)

Refused P26:

Hur skulle jag gå emot samtliga världens matematiker?

Fråga din mattelärare/närmast matematiker om ifall ett unikt decimaltal kan tecknas på två olika sätt.

Tar det igen. Mycket simpelt.

1/3 är INTE samma sak som 0,333...

1/3 kan approximeras med 0,333...

1/oo är INTE lika med 0. 1/oo är odefinerat.

lim ger INTE ett absolut svar, endast en approximation.

Plocka fram BETA, eller liknande matematisk handbok, och bläddra fram avsnittet om fundamental och diskret matematik

teoretisk matematik? matematisk filosofi? semantik? syntax? fundamental och diskret matematik?

Jag har ingen aning om vad det betyder, men att 0.999.... inte är det samma som ett lär man sig väl typ i trean om man har någon förmåga att tänka logiskt?

Antonq P17

Jag pluggar ju till lärare och jobbar som lärare.... men jag har nog aldrig varit med om att introducera 'oändlighet' i skolår tre.

om man delar 0.999.. på 1 så blir svaret 0.999 .. svaret blir inte 1, så därför är 0.999.. inte det samma som 1.
0.999 .. är det samma som 0.999..

Ljudas

"1/3 är INTE samma sak som 0,333...

1/3 kan approximeras med 0,333..."

1/3 är inte samma sak som 0, men kan appriximeras med 0.
1/3 är inte samma sak som 0,3, men kan appriximeras med 0,3.
1/3 är inte samma sak som 0,33, men kan appriximeras med 0,33.
1/3 är inte samma sak som 0,333, men kan appriximeras med 0,333.
1/3 är inte samma sak som 0,3333, men kan appriximeras med 0,3333.
Men, 1/3 som reellt tal är exakt samma som 0,333... (med oändligt antal treor).

"1/oo är INTE lika med 0. 1/oo är odefinerat."

Sant, men om man ska ge ett reellt värde till 1/oo, är 0 det mest naturliga (för att inte säga den enda tänkbara).

"lim ger INTE ett absolut svar, endast en approximation."

Jo, lim ger ett absolut svar. Men på vägen dit kan det handla om approximationer.