0,999.. = 1

:)

Hittade ett fint bevis när jag klickade vidare som jag var tvungen att lägga in här bara:
Låt x = 1
Låt y = 0.9999...
Låt d = x-y

d är klart större än eller lika med noll eftersom y är mindre än eller lika med x.
Nu påstår vi att givet vilket som helst positivt tal z > 0, så är d < z. (Behöver någon ett bevis?)
Och så drar vi till med en sats: "Om d är icke-negativt och d < z för alla z > 0, så är d = 0".
Bevis medelst motsägelse: "Om d inte är = 0 så finns det ett positivt tal som är mindre än d (till exempel d/2)".
Sålunda är x-y = 0, alltså x = y, eller 1 = 0.9999...

Ett klart och tydligt bevis alltså att 1 är EXAKT samma sak som 0,9999... (således är då oxå självklart 1/3 exakt samma sak som 0,333....). Och nej, likhetstecknena betyder inte "typ exakt" eller "ungefär exakt" eller "mest exakt". Dom betyder "precis exakt". En sak som Joda inte fattat i hela tråden. Att man inte kan använda likhetstecken om det inte är precist exakt.

Alltså....man kan inte skriva:
-> 0.99.. = 1

och sen säga:
eller helt enkelt representationer av tal som är så pass exakta som de kan bli utan att vara exakta..

Då får du ta bort likhetstecknet thanks. gonatt

Bobby, att 0.99.. är EXAKT samma sak som 1 är det väl ingen som ifrågasätter längre?

Komogant, 1/3 = 0.33..

båda sidor representerar samma tal..
dock är inte den högra representationen exakt.. :)

johanman att 0.33.. inte är en represenation av 1/3 är det väl ingen som någonsin påstått.. och vad hade det kursiverade med huruvida representationen är exakt att göra?

0.33.. = 1/3,
0.33..och 1/3 representerar samma tal, dock är representationen i sig inte exakt.. men talen i sig representerar samma sak..

vilket då följdaktligen ger,

0.99.. = 1

om det motsatta vore fallet så skulle 1/3 = 0.33.. inte kunna användas som bevis för att 0.99.. = 1 då 0.33.. * 3 != 0.99.. isf

(notera att jag pratar att om att använda detta som bevis för 0.99..= 1, om det redan är bevisat på ett annat sätt så blir ju följdaktligen 0.33.. * 3 = 1 = 0.99.. men det hör inte hit)

men det är väl rätt uppenbart att 0.33.. * 3 = 0.99.. vilket då ger det funkar som bevis för att  0.99.. = 1

missade denna biten

Skriver jag 5√2 på ett papper hoppas jag att jag representerat talet på ett exakt sätt ;)

ja.. 5V(2) är ju exakt på samma sätt som 1/3 är exakt..
dock kan du inte representera V(2) exakt i det decimala talsystemet som 5(?.??......)

minns jag rätt så är ju V(2) ytterligare ett tal som inte går att exakt representera i det decimala systemet.. eller vad det nu heter med korrekt terminologi

Detta är ett sätt för matematiken att kontra att A=A är falskt, eftersom det är en abstraktion av det icke existerande "vid en given tidpunkt". Infenismaler är matematik som försöker vara dialektisk, men inte lyckas. 

hej badet.. :)
kan du övertyga herrarna om att det finns tal som inte går att exakt representera i det decimala talsystemet..

tex det aktuella 1/3 som med talbasen 3, som förövrigt klingonerna använder sig av ;D, går att representera exakt som 0.1 medans det inte går att göra det i detmed talbasen 10..

som Irv Englander uttryckte det. (ung. översättning)

Det går inte att exakt representera 0.1(3) i det decimala systemet

eller som dom uttryckte det på planetmath..

Note that there is no exact decimal representation of the ternary value 10210.21

This happens often with conversions between bases.

joda:Det är ju en viktig principiell skillnad mellan sqrt(2) och 0.333... vilket jag ju redan påpekat-0.333... ger all information om talets utseende, det gör inget sätt att skriva sqrt(2) decimalt.  Jag tänker lägga ner det här nu men vill bara konstatera följande: Ditt enda bevis för att 0.333... inte är en exakt representation är att 0.333...*3=0.999... medan 1/3*3=1 och därför duger det inte som bevis. Grejen är ju bara den att om vi visar att 1/3-0.333...=0 så duger ju visst beviset. 1/3-0.333..=0->1/3=0.333...->3*(1/3)=3*0.333...->1=0.999... Nu kommer du skriva nåt istil med att du vet det och det inte är det det handlar om-som jag tidigare sagt förstår jag inte vad du menar. Jag kommer aldrig fatta vad du menar med en inte exakt representation eller varför bevisen inte stämmer, ditt inlägg från 01.14 är det mest förvirrade jag läst på länge...

jakob, jag har inte gett mig på att försöka bevisa det hela, då jag faktiskt inte är tillräckligt insatt för att göra detsamma..

förstår inte heller att det ska behövas ett bevis...

kan ni istället bevisa att det, tvärtom vad de jag citerat har sagt, går att representera 0.1(3) exakt i det decimala ditot?

angående 0.14

om 0.33... är en exakt representation av 1/3 borde väl 0.33.. bli 1 och inte 0.99.. om vi bortser från det faktum att 1=0.99..

när det sedan gäller själva definitionen av "inexact representations" så kan jag den ärligt talat inte.. vilket jag antog framgick då jag skrev att det jag antog att den var på ett visst sätt..

jag studerar inte matematik på universitetet och ett bevis eller ens en definition av inexakta representationer för mig känns inte så signifikant..

för mig räcker definitionen som ett tal som är det mest exakta som går att representera utan att för den skull kunna återges exakt väl..

räcker den inte för dig så får du väl uppsöka närmaste matematik institution och fråga någon insatt i ämnet vad den korrekta definitionen av det hela är..

och när du samtidigt är där kan du ju dessutom fråga om det jag hävdar stämmer, dvs att vissa tal inte kan representeras exakt i vissa talbaser..

och om denne professor eller liknande anser att 0.33.. är en exakt representation av 0.1(3)

joda:Vad spelar det för roll om 3*0.333... blir 0.999... och inte 1??? Våra bevis legimitet påverkas inte det minsta av detta. Förövrigt ÄR jag insatt och har studerat ganska mycket matematik-jag behöver inte fråga någon, för mig räcker det att 0.333... =3*summa (1/10)^n för n=1, 2,3,...=3*(1/10)/(1-1/10)=1/3, så exakt det kan bli...

Gör följande aritmetiska operationer. 1.0*1 och 1*1. I det första fallet får ni 1.0 och i det andra 1. Följaktligen kan 1.0 inte vara en exakt representation av 1, i så fall hade vi ju fått samma svar i båda fallen.

Sluta snälla. Du kan INTE bortse från det. Du kan inte bortse från bevis som presenteras.

om 0.33... är en exakt representation av 1/3 borde väl 0.33.. bli 1 och inte 0.99.. om vi bortser från det faktum att 1=0.99..

0,33.. * 3 BLIR 1

1/3 * 3 = 1 ----EXAKT
0,33... * 3 = 1 ------EXAKT
0,33... * 3 = 0,99.... ---- EXAKT

---> alltså blir 1/3 = 0,33... ---- EXAKT

Och sluta använda likhetstecken när saker inte är EXAKTA. Du kan inte skriva 1 = 0,333... och sen säga att det inte är exakt samma sak.

Kom inte dragandes med citat ur din datorbok nu. Ignorera inte alla andra källor som presenterats här.

men joda 0.33...*3 BLIR 1

det blir inte 0.999999999 (osv med ändligt antal decimaler) utan det blir 1 (vilket i sin tur kan skrivas som 0.999...)

Om du bortser från det faktum att 1=0.999... kan du lika gärna bortse från vilket annat faktum som helst.

Men såklart, bortser du från det faktumet så har du helt rätt.

Ofattbart hur han kan acceptera att 0,99.. = 1 men inte 0,33... = 1/3, vilket är en direkt logisk följd av det förstnämnda

jakob, nej det påverkar inte bevisets legitimitet...
suck.. och ja det är så exakt det kan bli, finns ingen mer exakt representation i talbas 10, 0.1(3) i talbas 3 är dock mer exakt..
vilket följdaktligen ger att den i talbas 10 är inexakt..


Bobby.

0,33... * 3 = 1 ------EXAKT
0,33... * 3 = 0,99.... ---- EXAKT

Förstår du inte sambandet mellan inexakta talrepresentatationer och ovanstående så är det inte lönt att fortsätta..

Och sluta använda likhetstecken när saker inte är EXAKTA. Du kan inte skriva 1 = 0,333... och sen säga att det inte är exakt samma sak.

De representerar samma sak, men vid aritmetiska operationer av representationen blir det som du nämnde ovan..

0.33.. är en representation 1/3, 1/3 * 3 = 3/3
dock en inexakt sådan till skillnad från 0.25 (1/4)

Kom inte dragandes med citat ur din datorbok nu

MathPlanet har vad med data och datorer att göra?
Och vilka andra källor hänvisar du till.
Ingen källa som är länkad eller citerad här har påstått att alla tal går att exakt representera i alla talbaser. Och kom inte dragandes med wiki-beviset, för det behandlar inte frågan om representationer närmvärt.

Ofattbart hur han kan acceptera att 0,99.. = 1 men inte 0,33... = 1/3, vilket är en direkt logisk följd av det förstnämnda

Ofattbart att du överhuvudtaget inte förstår vad en representation är.

Vet inte om jag ska skriva det igen..

0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1

Räcker det så eller ska jag skriva det några gånger till?
Varför påstå att jag överhuvudtaget har sagt att 1/3 = .033..

0.33.. är dock inte ett exakt sätt att representera ovan nämnda..
0.33.. är dock = 1/3 just därför att 0.33.. representerar samma värde. Men somsagt, hyser inga förhoppningar av att du ska förstå detta enkla samband nu heller dock. Du kommer väl fortsätta hävda att jag påstår att 0.33.. != 1/3.. vilket jag aldrig påstått och aldrig kommer göra heller. Så för att klargöra min ställning ytterligare en gång för att undvika att det sker igen.

0.99.. = 1
0.3.. = 1/3

Sådär, nu var det överstökat, kom inte dragandes med att jag senaste dagarna påstått något annat, för det har jag inte.
Och hittar du något som du tycker visar att jag gjort det så har du troligtvis tolkat fel, så släpp det. Det ovanstående är vedertaget oavsett om representationen är exakt eller inte.

Ofattbart hur han kan acceptera att 0,99.. = 1 men inte 0,33... = 1/3, vilket är en direkt logisk följd av det förstnämnda

Dock, kanske jag förstår vad du menar med att det är en exakt representation. Genom att 0.99.. / 3 = 0.33.. 
0.99.. = 1 -> 1/3 = 0.33..  Är det så du menar så har jag missförstått dig en aning, och isf borde jag ytterligare förtydligat
ytterligare för att klargöra varför reprentationen i sig är inexakt.
Egentligen skulle jag bara vilja slänga in att 0.99.. är en inexakt representation av 1, (ja, 0.99.. = 1 likväl). Men då du ställer dig tveksam till huruvida en representation kan vara inexakt så väntar jag på svar från din sida huruvida du resonerar på ovanstående sätt.. alltså, 0.99.. / 3 = 0.33.. | 0.99.. = 1, 1/3 = 0.99 / 3 = 0.33..

   En förutsättning för att jag dock överhuvudtaget ska  
   ytterligare kommentera något att dina inlägg Bobby,

   är att du tar dig tid att faktiskt läsa det jag skriver och

   inte kommer med påståenden om saker jag skrivet och

   hävdat som uppenbarligen inte är sant. Klarar du inte av

   detta kan vi släppa allt här och nu.


GJ

Om du ska använda 1/3 modellen för att bevisa 0.99.. = 1 måste du ju således bortse från det faktum att det eventuellt finns, vilket det gör i det här fallet, andra bevis som bevisar samma sak. Det var det jag menade. Så därför bad jag dig och de andra att bortse från det faktum att 0.99... = 1. Då det är nödvändigt vid den tidigare nämnda situationen.

Aight, ang 0.33.. * 3 = 1 och inte 0.99..
det vet jag inte om dom andra här håller med dig om,
men är det verkligen så att 0.33.. * 3 = 1, utan att använda sig utav 0.33.. = 1/3 och 0.99.. = 1.

Alltså, om man räknar med den numeriska representationen (0.33..) och inte det som talet representerar (1/3)

Återigen ber jag dig bortse från saker, hoppas du har överseende med detta ;)

joda:Ja, det är det. 3*0.333...=9*summa((1/10)^n, n=1, 2, 3,...)=(1/10<1)=9*(1/10)/(1-(1/10))=1.

jakob ;)

så om 0.99 != 1, så är 0.33.. * 3 != 0.99 ? :)=

0.3*3=0.9

0.33*3=0.30*3+0.03*3=0.99

0.333*3=0.30*3+0.03*3+0.003*3=0.999

Sen kan man fortsätta lägga på treor i oändligheten och allt man får är nior i oändlighet.

Dvs ingen etta så långt ögat når om man inte tror på 1=0.999...

om 0.99... är skilt från ett så är 0.33...* också skilt från ett men INTE från 0.99... eftersom 3*3 (och detta hoppas jag du accepterar) är detsamma som 9

GJ då anser du inte samma sak som Johan alltså?

jag lägger mig inte i det hela för tillfället..
jag väntar på att det blir enighet i tråden först huruvida 0.33.. * 3 blir 0.99.. och därigenom 1, eller om 0.33.. * 3 = 1 och därigenom 0.99..

jag har min uppfattning klar.. men vore intressant att se hur de båda sidorna argumenterar för sin sak =)

jag väntar på att det blir enighet i tråden först huruvida 0.33.. * 3 blir 0.99.. och därigenom 1, eller om 0.33.. * 3 = 1 och därigenom 0.99..

Så konstigt. Du kan lika gärna säga:
jag väntar på att det blir enighet i tråden först huruvida 5 * 3 blir 15 och därigenom 15,0, eller om 5 * 3 = 15,0 och därigenom 15

Och nej jag orkar inte  läsa igenom din uppsats. Du vägrar ändå erkänna att 0,33... är en exakt representation (man blir lite trött på det ordet)

Jag tror inte att någon mer än du säger emot att 3*3=9?

4*4 däremot är INTE 16 utan 15.999...-0.000...1

Bobby, om du hade läst johans inlägg hade du inte skrivit ovanstående.. men jag hade inte heller förväntat mig något annat.. som jag skrev tidigare.. skaru inte läsa utan bara gnälla kan du låta bli.. 

varför erkänna något jag är till 99% säker på är fel?..

GJ

fniss ;)

Ett tips är ju att du läser det jag skrev Bobby, då jag delvis ger dig rätt, vilket borde vara av intresse för dig?

GJ, när sa jag förövrigt emot att 3*3 = 9?

3*3=9
0.3*3=0.9

osv

alltså, 0.33...=0.99...=1

Om allt detta handlar om att 1/3*3 inte är ett bra bevis för 0.99...=1 så håller jag med.

Men jag tyckte det tydligjorde VARFÖR det är det.

GJ, jag har aldrig ifrågasatt din tydlighet väl ? =)
eller något du skrivit heller för den delen..
finner ingen anledning att göra det :)

personligen för mig så beror dess beviskvaliteer på huruvida representationen är exakt eller inte..

vid en exakt dito så känns det problematiskt..
med en inexakt sådan så blir det mer logiskt..
då det enligt mig innebär just att

0.33.. = 1/3
0.33.. * 3 = 0.99..
1/3    * 3 = 1

0.33.. = 0.99..

men nu får väl bobby nått nytt att klaga på som vanligt..

jag var otydlig, det tydligjorde för MIG :)

skit i det beviset då och ta ett av de andra

a=1
b=0.000...1
a-b=1
b=0
1-0.000...1(nollorna slutar ALDRIG)=1=0.999...

0.33..=0.99.. är en felskrivning?

hah.. ja självklart.. 1 = 0.99.. skulle det stått. Tack :)

ta ett annat bevis kan jag gärna göra om så är fallet.. inte för att det behövs när representationen är inexakt.. det blir bara mer logiskt då.. men klart man kan göra det..

somsagt, jag ifrågasätter inte att 0.99.. = 1 lika lite som jag ifrågasätter att 0.33.. = 1/3

vad ifrågasätter du då?

Bobby somsagt, läs det jag skrev tidigare om du vill att jag ska besvara dig..

inte lönt att jag skriver något om du endå inte läser och besvarar mina frågor till dig..

testa att inte skriva uppsatser eller 20 inlägg efter varandra så kanske nån läser

Bobby, det varinte mer än 20 rader på sin höjd.

Bobby. (okej mer än 20 rader ;) heh)

0,33... * 3 = 1 ------EXAKT
0,33... * 3 = 0,99.... ---- EXAKT

Förstår du inte sambandet mellan inexakta talrepresentatationer och ovanstående så är det inte lönt att fortsätta..

Och sluta använda likhetstecken när saker inte är EXAKTA. Du kan inte skriva 1 = 0,333... och sen säga att det inte är exakt samma sak.

De representerar samma sak, men vid aritmetiska operationer av representationen blir det som du nämnde ovan..

0.33.. är en representation 1/3, 1/3 * 3 = 3/3
dock en inexakt sådan till skillnad från 0.25 (1/4)

Kom inte dragandes med citat ur din datorbok nu

MathPlanet har vad med data och datorer att göra?
Och vilka andra källor hänvisar du till.
Ingen källa som är länkad eller citerad här har påstått att alla tal går att exakt representera i alla talbaser. Och kom inte dragandes med wiki-beviset, för det behandlar inte frågan om representationer närmvärt.

Ofattbart hur han kan acceptera att 0,99.. = 1 men inte 0,33... = 1/3, vilket är en direkt logisk följd av det förstnämnda

Ofattbart att du överhuvudtaget inte förstår vad en representation är.

Vet inte om jag ska skriva det igen..

0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1
0.33.. = 1

Räcker det så eller ska jag skriva det några gånger till?
Varför påstå att jag överhuvudtaget har sagt att 1/3 = .033..

0.33.. är dock inte ett exakt sätt att representera ovan nämnda..
0.33.. är dock = 1/3 just därför att 0.33.. representerar samma värde. Men somsagt, hyser inga förhoppningar av att du ska förstå detta enkla samband nu heller dock. Du kommer väl fortsätta hävda att jag påstår att 0.33.. != 1/3.. vilket jag aldrig påstått och aldrig kommer göra heller. Så för att klargöra min ställning ytterligare en gång för att undvika att det sker igen.

0.99.. = 1
0.3.. = 1/3

Sådär, nu var det överstökat, kom inte dragandes med att jag senaste dagarna påstått något annat, för det har jag inte.
Och hittar du något som du tycker visar att jag gjort det så har du troligtvis tolkat fel, så släpp det. Det ovanstående är vedertaget oavsett om representationen är exakt eller inte.

Ofattbart hur han kan acceptera att 0,99.. = 1 men inte 0,33... = 1/3, vilket är en direkt logisk följd av det förstnämnda

Dock, kanske jag förstår vad du menar med att det är en exakt representation. Genom att 0.99.. / 3 = 0.33.. 
0.99.. = 1 -> 1/3 = 0.33..  Är det så du menar så har jag missförstått dig en aning, och isf borde jag ytterligare förtydligat
ytterligare för att klargöra varför reprentationen i sig är inexakt.
Egentligen skulle jag bara vilja slänga in att 0.99.. är en inexakt representation av 1, (ja, 0.99.. = 1 likväl). Men då du ställer dig tveksam till huruvida en representation kan vara inexakt så väntar jag på svar från din sida huruvida du resonerar på ovanstående sätt.. alltså, 0.99.. / 3 = 0.33.. | 0.99.. = 1, 1/3 = 0.99 / 3 = 0.33..

   En förutsättning för att jag dock överhuvudtaget ska  
   ytterligare kommentera något att dina inlägg Bobby,

   är att du tar dig tid att faktiskt läsa det jag skriver och

   inte kommer med påståenden om saker jag skrivet och

   hävdat som uppenbarligen inte är sant. Klarar du inte av

   detta kan vi släppa allt här och nu.

där har du iaf svar på de frågor du ställde mig, om du inte vill läsa svaren jag skriver så behöver du inte heller fråga mig något.

Då slipper du =)

Det ovanstående är vedertaget oavsett om representationen är exakt eller inte.

Fel. Det är exakt.

joda
jag fattar verkligen inte...

Vad är det som gör att om, 0,333... är EXAKT en tredjedel av 1, är en inexakt representation?
Om talet är EXAKT 1/3 och dessutom representerar EXAKT 1/3 kan det väl omöjligt vara nåt som är inexakt, eller?
Om representationen (0,333...), är inexakt måste det väl förfan  innebära att det antingen inte är EXAKT 1/3 eller att det är exakt 1/3 men representerar nåt annat. eller har jag fel?

och det berodde inte heller på att den var oändlig? nej som sagt så fattar jag inte alls, så jag vore tacksam om du kunde försöka svara på mina frågor
peace

möglig:Ingen fattar utom joda själv. Kan inte vara lätt att vara ett missförstått geni omgiven av idioter-han måste känna sig som Copernikus eller nåt...

Bobby, du kan ju fan inte svara FEL på det jag skrev..

nämnligen att 0.99.. = 1 är vedertaget oavsett om det är representationen är exakt eller inte...

då jag varken säger bu eller bä kan du ju inte säga att jag har fel..

fan går du på egentligen? =)

0.33.. = 1/3 men den numeríska representationen av 1/3 som 0.33.. är inexakt i sin natur..

0.33.. representerar exakt 1/3, men representationen i sig är inexakt..

jakob ;)
det känns inte så farligt faktiskt =)
förstår dock inte varför det är så jävla svårt för vissa att acceptera inexakta representationer av tal då det är vedertaget på grund av brister i de numeriska talsystemen..

0.1 i det trinära system kan inte representeras exakt i det decimala..

Dock kan man ju kanske säga att 0.33.. representerar 0.33.. exakt indirekt genom att 0.99.. = 1.. som jag skrev tidigare..
Men jag vet inte om det i sig är okej, för om då 0.99.. i sin tur är en inexakt representation av 1, dvs att representationen i sig är inexakt trots att talet exakt representerar 1 (0.99.. = 1 likväl således, påstår inget annat notera det) så blir fortfarande 0.33.. en inexakt representation då operationer med inexakta representationer i sin tur leder till inexakta representationer eller något liknande.. har inte lagt ner min själ i att undersöka detta..

möglig, den exakta definitionen av inexakta representationer kan jag inte återge tyvärr, har försökt finna en sådan men endast funnit uttalande som säger att vissa tal inte går att representera i de olika numeriska systemen..

1/4 går inte att exakt representera i talbasen 3 tex.. om jag inte yrar helt och hållet. bör ligga till på det sättet..

0.33.. = 1/3 men den numeríska representationen av 1/3 som 0.33.. är inexakt i sin natur..

Fel. Det är exakt i sin natur eftersom den (0,33...) går mot oändligheten. Kul att du började tråden i en helt annan ände och nu är vi snart enade! yes!

Bobby, du hajjar fortfarande inte skillnaden mellan en representation och talet det representerade?

*den representerar

jo det gör jag. och jag vet att du kämpar för att lämna den här tråden med åtminstone ett rätt eftersom du fått vika dig på andra punkter. Men "0,33..." är en exakt representation eftersom "..." representerar oändligheten. Precis som att utvecklingen av en serie t.ex."(n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n)" är en exakt representation av en serie. Den skrivs så.

Bobby, fått vika mig?
trodde samma gamla bevis skulle anges som vanligt vilket i sig brukar vara felaktigt..

dessutom behöver man inte vika sig, bara rätta sig, på samma sätt som man accepterar att 12-4 = 8 och 2-4 = -2

sånt är livet...
utan standarder blir det svårt att kommunicera

somsagt, jag är fortfarande öppen
jag är inte hundra på att det är en inexakt rep.
men om det är exakt torde 0.3.. * 3 inte bli 0.99.. direkt.
som en math major just uttryckte det..

However, showing that 0.3_ * 3 = 0.9_ might be a bit hard.

vilket om så är fallet innebär att representationen är exakt.

However, showing that 0.3_ * 3 = 0.9_ might be a bit hard.

Let's call the decimals of 0.3_ a_n and the decimals of the product b_n.

You might think that a_n * 3 = b_n, but that would only be true if there is no carryover.

ETT ÄR ETT! NOLL ÄR NOLL! 0,9 ÄR 0,9! 0,999 ÄR 0,999!

hur svårt är det att förstå

10 = 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16...