0,999.. = 1

Som sagt, it blows my mind hur folk helt utan att skämmas bara kan påstå att hela matematiska världen har fel eftersom de med sin gymnasiematte minsann "förstår" att 0,999... inte är lika med 1.

Någon form av ödmjukhet är väl på plats? Vilket är rimigast att anta, att ni inte greppar beviset eller att samtliga matematiker har fel?

Och visst kan man jämföra oändligheter. {De udda heltalen} är en mindre oändlighet än {Samtliga heltal} eftersom man får {De jämna heltalen} om man subtraherar mängderna från varandra.

Subtraherar man 0,999... från 1 får man däremot 0. Vad annars?

Seth
1/3 är inte irrationellt.

Du har rätt, jag blandade ihop definitioner.

Refused: Bra sagt där. Det finns massor av människor, totalt avskärmade från verkligheten hela sitt liv, som ägnat all sin tid åt såna här problem. Så om det står i en lärobok att 0,999... = 1 så är det nog fan så. Man ska bara fundera på det och inse det.

De är ju något skumt med talet 1.6 oxå :)

Thats cool!

xunzi: aha! =)

Niito: Menar du gyllene snittet? Fantastiskt är vad det är!

Alex2001

Ah de hette nog så :D

Fantasktiks? Nja ? eller?

Niito: Ja, gyllene snittet är fantastiskt, tycker jag iaf. Men det har ju egentligen inte med tråden att göra.

Xunzi:

Men det är väl inget fel i att spekulera i de teoretiska/filosofiska grunderna (därvidlag är väl inte samtliga matematiker överens?)?

Det som jag högst ödmjukast spekulerar i är semantik, inte syntax. (Matematiska bevis följer syntax, medan definitionerna baseras på semantik, eller hur?) Det kan väl inte vara fel?

Nej var min gäst, det låter väldigt intressant. Dock är det ju en helt annan diskussion än huruvida 0,999... är lika med 1 eller ej. Ett matematiskt uttryck bygger ju alltid på vissa axiom/premisser, det innebär inte att det för bevisföringen är relevant att ifrågasätta dem varje gång.

Om något så är det väl brist på ödmjukhet att framställa jämförbarheten mellan oändligheter som att det vore så självklart.

Ursäkta mig isf, hur borde jag ha framställt det för att det skulle verka mindre självklart?

NEJENJNEJNJENEJNEJNEJ INTE IGEN JOHANMAN

det tog ju fan tio år för mig senast att lyckas förklara för alla att en approximation aldrig är något annat än en approximation..

kom inte dragandes med dessa igen..
visst en godtycklig sådan.. men likväl är felmarginalen alltid större än 0 oavsett antal steg du utför approximationen i :)

0.1 i talbasen 3 går inte att representera exakt i talbasen 10 då det är ett irrationellt tal..

felmarginalen blir 10^-(n+1) där n representerar antal steg som approximationen utförs i.. om jag nu tänker rätt.. något i den stilen iaf ;)


du kan således aldrig hävda att 1=0.99..9
folk som påstår detta har grovt missuppfattat konceptet..

approximationen använder för att underlätta beräkningar med tal som innehåller en sekvens i sin decimalserie..

men approximationer somsagt är aldrig annat än approximationer och kan således aldrig exakt återspegla verkligheten.. då är de ju inte längre approximationer..

tassel, integraler använder sig ju också av approximationer och är inte exakta representationer av de som de beskriver

Alex, läs ovanstående..

Xunzi:

Hehe ok =)

"Angreppet" var dock inte menat att riktas mot diskussionerna kring oändlighetens natur, utan de halsstarriga påståendena rakt av att satsen skulle vara falsk.

joda:

du kan således aldrig hävda att 1=0.99..9
folk som påstår detta har grovt missuppfattat konceptet..

Den som tror att det var det tråden handlade om har grovt missuppfattat. Ingen tror att 1 = 0,999...9 , däremot är 1 = 0,999...

felmarginalen blir 10^-(n+1) där n representerar antal steg som approximationen utförs i.. om jag nu tänker rätt.. något i den stilen iaf ;)

Jag tror det är här din missuppfattning ligger. Detta är inte frågan om att utföra en iteration ett bestämt antal gånger, utan det är frågan om en oändlig decimalföljd. O-ändlig. Dvs den där sista nian kommer aldrig, någonsin.

Säger som tidigare, lustigt att det hävdas att hela den matematiska världen har fel på den här punkten. Det är ganska svårt att ta på allvar.

joda:

hm, jag vet inte om jag ska snacka emot dig. Jag ändrar inte min uppfattning och det är pga "användandet" av just oändligheten. Och matematik och verklighet går inte alltid hand i hand. Ta tex målarens paradox.

Vad menar du med att intrgraler inte är exakta? En integral kan vara en area under en funktionskurva och den är ju exakt, tex.

x = 0.99...9

10x-x = 9x

9x = 9

x = 1

Där har ni principen för hur det fungerar..
problemet sker ju altså när 10x-x beräknas då oändliga tal är oändliga..

försöker man dock utföra beräkningen manuellt kommer svaret dock alltid att bli fel.. detta på grund utav att 10x kommer att avslutas av en nolla..

väljer man då istället att komma runt detta genom att använda sig utav x-0.1x antar jag att en liknande problematik inträffar då

x-0.1x = y
10x-x = y

och då inträffar ju ovanstående problematik..

men visst, matematiken är full av fel, så jag blir inte förvånad att problematiska situationer uppstår..

dock när jag ögnade igenom länken så tyckte jag mig se begreppet lim->0 användas.. problemet med lim är ju just precis det jag pratar om.. det handlar om värden som rör sig mot 0 i oändlighet, men mig veterligen når aldrig dessa värden 0 och således går ju även felmarginalen mot 0

Refused, fann inget bättre sätt att representera talet 0.99..9 med en oändligt antal decimaler då det korrekta sättet att återge detta är aningen problematiskt på whoa :)

Alex, läs ovanstående inlägg..

Refused, förvisso, som jag skrev senare så innebär ju beräkningar med oändliga talföljder vissa problem då det just rör sig om oändligheter.. om x är oändligt så är ju även x+1 = x märkligt nog :)

joda:

Det korrekta sättet att återge det med gällande notation är just 0,999...

0,999...9 betyder något i stil med "lång serie nior med en nia på slutet". Och det är ju verkligen inte lika med ett, som du säger.

Jag tror man för att förstå bevis involverande oändligheten får vara beredd att acceptera att de inte går att lösa "manuellt", så att säga.

men saken är ju att ett tal som är godtyckligt nära 0 = 0

Matematiken full av fel? Det stämmer kanske inte överrens med det vi uppfattas som rätt, verkligt osv.

Förklara gärna vad som inte är exakt med integraler. Man adderar en oändlig mängd oändligt små rektanglar, lådor osv och får ett exakt tal. Det är ju lite kärnan i analysen.

Nej, som du säkert minns, så har integralen sitt ursprung i en matematikers tanke på hur man skulle kunna beräkna en vintunnas volym..

tänker faktiskt inte skriva mer utan hänvisar till denna länk då den beskriver precis det jag tänkte skriva..

http://sv.wikipedia.org/wiki/Integraler

Förvisso använder man sig utav segment där dess bredd går mot 0, men det förändrar inte det faktum att värdet aldrig blir 0.

Eller minns jag fel gällande lim?

Alex, ja det är en godtycklig approximation.. men inte en exakt representation av verkligheten :)


Alex, menade mer på vissa delar av matematiken som inte innefattas av någon egentlig logik utan endast är på ett visst sätt för att det är så ;)

men visst, fel kanske var ett starkt ord :)

Alex, kärnan är att man får ett godtyckligt svar, där felmarginalen går mot 0 när bredden går mot 0

integraler är lysande.. men likväl endast approximationer :)

för att egentligen sammanfatta allt i en mening..


hur liten du än väljer att göra felmarginalen så är den fortfarande en felmarginal :)

Förövrigt är det påvisat att wikis håller en helt klart godkänd standard.. visst, självklart ska man vara kritisk i sin granskning och wikis skiljer sig åt.. men när det gäller stora ämnen och stora wikis så brukar innehållet vara helt okej jämfört med andra uppslagsverk

"Och visst kan man jämföra oändligheter. {De udda heltalen} är en mindre oändlighet än {Samtliga heltal} eftersom man får {De jämna heltalen} om man subtraherar mängderna från varandra."

Refused?

kan en oändlighet vara mindre än en annan oändlighet?
talar inte det emot själva konceptet oändlighet?

ett oändligt stort tal kan väl inte vara mindre än ett annat oändligt stort tal.. då måste det väl röra sig om ändliga sådana?

Du får gärna utveckla ditt resonemang vidare..
säger inte att du har fel.. förstår bara inte tanken =)

gällande lim så är det väl så att tex lim(x->oändligheten) för 1/x = 0
för att ta ett exempel. Det är inget tal större än noll utan just lika med noll. Fan, längesen jag pysslade med detta, rätta mig.

Ja, att säga att det är en massa fel i matematiken ska man passa sig för =)

Missade förövrigt ditt tidigare svar till mig, och nu ere mitt sjätte inlägg i rad.. gött..

Men sure thing,
jag förstår tanken bakom beviset.. men anser likväl att det mer påvisar bristerna vid beräkningar med oändligheten än resultatet i sig :)

värdet rör sig ju mot oändligheten men når den aldrig..
i likhet med vare nu är för trigonmetrisk funktion som även den rör sig mot något tal men aldrig når det..

Så minns jag det, men samma här.. var 4 år sen eller liknande jag egentligen tänkte på det hela med lim..

PlayerJoe, det bör ju gå att skriva talet 0.99 som ett bråk, dock inte i talbasen 10..

eller kanske det gör.. nu e jag för trött för att va med längre..
tänkte tvärtom :(

det bör gå att exakt representera det eventuella bråket i en annan talbas.. det jag va inne på..

i likhet med att 1/3 är 0.1 i talbasen 3 :)

joda: säg mig vad som är approximativt för exempelvis följande integral:

integralen för funktionen x^2 för x mellan 0 och 1. Den blir 1/3. Så exakt det kan bli.

approximationer är aldrig exakta..
då är det inte längre en approximation :)

suck. Jag får bara känslan av att du ifrågasätter hela analysen. Svara istället på min förra fråga, den där lätta integralen?

fridens =)

Alex, jag pallar inte räkna matte denna tid på natten..
utför beräkningen och visa ditt resonemang så återkommer jag imorgon när jag har tid.. om jag nu har tid imorrn..

har 300sidor facklitteratur att läsapå engelska..

http://links.math.rpi.edu/applets/appindex/IA.html
smårolig länk förövrigt för dem som vill förstå va vi pratar för grekiska..

sen bör det väl tilläggas att integraler inte alltid är approximativa.. vet inte om jag sa något tidigare innan..
men väljer man tex att beräkna arean under grafen för y=3x för 0 till 3 så får man ju ett exakt värde.. 9.. av förklarliga skäl.. 

så får väl lov att böja mig lite.. 
det bör ju även gå att exakt beräkna likformiga objekt exakt också såsom en halvcirkel tex med rieman summor?

eller är jag ute och cyklar?

den vänstra felmarginalen borde ju vara idententisk med den högra och således negerar dessa varandra?

joda
approximationer? seriöst utan att ens kommentera detta inlägg: läs på.

dock när jag ögnade igenom länken så tyckte jag mig se begreppet lim->0 användas.. problemet med lim är ju just precis det jag pratar om.. det handlar om värden som rör sig mot 0 i oändlighet, men mig veterligen når aldrig dessa värden 0 och således går ju även felmarginalen mot 0

De når noll. Att gränsvärdet av utrycket 10^-n (som är aktuellt i det här fallet) när n går mot oändligheten är 0 betyder inte bara att 10^-n går mot noll när n går mot oändligheten. Det betyder också att när n är oändligt stort är 10^-n lika med noll.

 

det sista jag skrev faller på eget grepp då felmarginalen ju inte är känd per automatik ;D sängen är en bra plats för tankar ibland..

tassel, måste erkänna att jag förövrigt inte läste igenom tråden särskilt noga innan jag kommenterade..

Dock har jag minnet av att vi fick lära att x-0.1x metodiken var en approximation för att underlätta arbetet med tal med oändlig decimalföljd.

men det gäller väl kanske endast när man ska utföra beräkningar med dessa tal och inte på en teoretisk nivå.. eller hur jag nu ska förklara hur jag menar..

men jag är ingen matematikprofessor.. det överlåter jag åt andra..

sen har jag inte heller någon aning om vad du kommenterade.. vilket gör det relativt svårt att svara vettigt..

approximationer är ju dock aldrig exakta per definition..

Apati, aight om så är fallet så är det väl så..
minns inte så noga.. har bara ett vagt minne om att det uttryckte värden som närmade sig 0 i oändlighet utan att nå detta.. precis som exemplet med den trigonometriska funktionen som även den rör sig mot ett värde utan att nå detta.. tangens eller vare nu va :)

Om en variabel x successivt antar värden, som allt mer och mer närma sig en viss konstant a, och det så, att skillnaden mellan a och x kan göras numeriskt mindre än vilken storhet man än må uppge, så sägs x närma sig eller tendera obegränsat (indefinit) mot a, och a kallas vara limes eller gränsvärde för x.


( http://matmin.kevius.com/grans.html )

Så vitt jag kan avläsa så kommer aldrig X att anta värdet 0 då det alltid finns ett värde mellan 0 och det föregående..

0.999... ÄR 1. Om man hävdar att så inte är fallet så betyder det att mängder av formler som alla bygger på att (10)^(-n) där n->oändligheten=0 (inte approximativt, det ÄR 0) är värdelösa. Man kan inte bara göra undantag i detta fallet bara för att det känns konstigt... Det finns en anledning till att man skriver det minsta talet i intervallet (0,1) som 0+ i inergraler, gränsvärden etc. Det största talet i intervallet (0,1) borde då kallas 1-.

joda
NEJENJNEJNJENEJNEJNEJ INTE IGEN JOHANMAN
för mycket matematik är inte nog.
:)

Så vitt jag kan avläsa så kommer aldrig X att anta värdet 0 då det alltid finns ett värde mellan 0 och det föregående..
Vad du kan "avläsa" är naturligtvis inte relevant. Ändå är du varmt välkommen att presentera ett av talen som ligger mellan 0,999... och 1.



För övrigt skön utveckling av tråden. Refused håller ställningarna bra, är det rutinen från (alla pajasar i) politikforumet som gör sig gällande?

999 e ju närmare tusen än 1 :S

tassel 

Ja, men då ligger ju hela konceptet i att man har definierat 0,999...=1 och därför är det felaktigt att man slänger fram algebraiska ekvationer som bevis när dessa inte behandlar den grundläggande frågeställningen.

sorry, men min matte är inte den bästa nuförtiden (Har aldrig varit) därför blir det fel på begreppen. Men du tycker inte själv att beviset 10*0,999... är missvisande? Det är väl t ex onödigt långt och förvirrande, vilket går emot principerna för ett bra bevis?

Alex2001 

Därför att man antar det man ska bevisa i själva beviset. Talet oändligheten handlar om inte alls om att tänka. Det handlar om en definition av ett tal som inte alltid följer algebraiska regler. Till exempel. Om oändligheten + 1= oändligheten, vad blir det då om man skulle ta minus oändligheten igen? Det skulle bli 0? (kan någon som är inne på matte förklara?)

Bill_visar_vägen:Oändligheten är inget "tal" man bara kan addera och subtrahera. Oändligheten+1 är inget tal eftersom det skulle innebära att det fanns ett tal som var större än oändligheten vilket det ju inte gör...

apati: say what? det stämmer ju inte.. vänster-, resp. högergränsvärdet för 1/x då x  går mot noll är ju minus oändligheten resp. oändligheten. om x skulle nå noll så är det inte definierat.

eller missade jag nåt? :)

jakob

Javisst. Därför flyttas hela problemställningen till avancerade filosofiska definitioner. Just därför tycker jag det är larvigt att lösa problemet 0,999...=1 med algebraiska uttryck.