0,999.. = 1

Bobby Dollars:

Ok då jag kanske överdrev. Om jag säger så här då: Att 0.999.... inte är samma som ett lär man sig väl när man lär sig grunderna om decimaltal och har en förmåga att tänka logiskt?

frost P19:

0,333... är inte samma tal som 1/3 just eftersom att t.ex. addition och multiplikation fungerar olika för dem.

3 * (1/3) = 1
3 * 0,333... = 0,999...

so far so good. Om adderar 1 med 1 får du två, adderar 0,999... med 0,999... får du ett tal som otvivelaktigen måste sluta på en 8:a.  Förstår inte varför det här ska vara så svårt att förstå...

lim är en approximation eftersom att teoremet antar att 1/oo är noll.

1/oo är odefinerat just eftersom att man inte entydigt kan säga att det är ekvivalent med noll.

Ljudas:

Plocka fram BETA, eller liknande matematisk handbok, och bläddra fram avsnittet om fundamental och diskret matematik

Och vad exakt står det där? Citera tack! För jag kan lova dig att det inte står något som stöder det du påstår.

Hur ser du på att båda Wikiartiklarna totalt motsäger varenda ett av dina påståenden? "Fel i artiklarna", kan jag tänka mig, trots att de är öppna för kritik från vem som helst utan att någon sådan framförs. Men källorna längst ner i bägge artiklar då? Har alla utom du fel? Är det en konspiration?

Varför kan du inte hitta någon källa som faktiskt direkt motsäger att 0,999... = 1, när det är så oerhört lätt att hitta massvis som bekräftar det? Något att fundera på.

frost:

Bra svar ang approximationer, men vad gäller x/oo så är det faktiskt exakt noll och inte odefinierat. Se artikeln om oändligheten.

Antonq P17

Att man inte ska förutsätta att man förstår matte bättre än världens alla matteproffessorer är å andra sidan något man inte ens borde behöva gått i skolan för att fatta. Hur orkar du?

Refused

men vad gäller x/oo så är det faktiskt exakt noll och inte odefinierat. Se artikeln om oändligheten

Va, påstod jag något annat? :S

Ljudas:Adderar du 0.999...+0.999... får du inte alls nåt som slutar med en 8:a, det kan jag tillochmed bevisa. 0.999...+0.999=9*2*(summa(10)^(-n) där n=1, 2 ,3 ...)=
18*summan=10*summan+8*summan={(10*10^(-n)=10^(-n+1)}=1+summa)+8*summa=1+9*summa(10^(-n))=1.9999...´

Lite rörigt men fullständigt korrekt, inga åttor.  Observera att summan 10^(-n+1, n=1, 2, 3...)=1+summan 10^(-n, n=1, 2, 3...) när n->inf.

frost:

"1/oo är INTE lika med 0. 1/oo är odefinerat."

Sant, men om man ska ge ett reellt värde till 1/oo, är 0 det mest naturliga (för att inte säga den enda tänkbara).

Tvetydigt svar iofs.

jakob:

Att Ljudas ens skriver "sluta med" ang ett tal med oändlig decimalutveckling tyder ju på en viss bristande förståelse för oändligheten.

Ljudas
Du motsäger oändligheten med att stoppa in en 8:a, bra jobbat.

Refused P26

Ah jo jag vet, såg också det.

Antonq P17

kan inte du förklara hur 0,999... inte är 1 med ditt inlärda logiska tänkande? Var god och läs igenom tråden en eller två ggr innan du gör det oxå

tassel

för övrigt förstår jag inte var folk får sitt ego ifrån när det gäller matematik...

Jag förstår inte varför inte de som inte är matematikexperter skulle få uttrycka sig? :S

Varför ska man uttrycka en åsikt ifrågan? Varför vänder man sig i sökandet av svaret på frågan till den egna tankevärlden? Det är vanvett. Det finns ingen sämre grund för sanningssökande en en individs diffusa föreställningar om världen. Här går det alldeles utmärkt att låta bli att tänka själv och följaktligen bör var och en av oss ha det goda omdömet att låta bli att göra det.

Tydligen förstår jag inte... Jag trodde att det var väldigt självklart att 0.99999999... inte är ett, men jag antar att ni har rätt i att det inte är så enkelt.

bara för att bråket 1/3 inte kan reprenteras i det decimala talsystyemet betydfer det väl inte att det inte går att använda?

just genom de approximationer som nömnst ovan..

att 0.3333.. x3 kan antas vara 1 då 1/3 = 0.333 och 3*1/3 är 1 köper jag, då det beror på brister i talrepresentationen.. att dock helt sonika ställa upp 0.99.. och hävda att det är 1 är en annan femma..

1/3 är ju inte 0.33.. då det blir en viss felmarginal som är 0.00..1 /3.. och således kan man ju då mena att genom att representtationmen är felaktig så är således 0.333 * 3 = 1

köper somsagt den biten, förutsatt att man talar om att det beror på att talöet inte går att representera i talbasen och att det således beror på detta.. dvs att 0.33.. som är den bästa representation som går att ge av 1/3 *3 är 1..

att dock helt sonika påstå att 0.99.. är 1 känns lika fel som att påstå att en månghörning där n representarar antal hörn och där n=oo är en cirkel..

en cirkel har inga hörn genom dess definiton.. något som har hörn är en n-hörning, vilket skiljer sig infinisemalt från en cirkel

dock får ju en n-höärning där n=oo samma area som en cirkel då cirkelns area är approximativ genom den integrala funktion som beskriver denna..


(reservation stavning och tänk då alkoohlen influterar mina sinnen)

boogey P22

absolut 0.333 och 0.999 menade jag såklart... så kass va ja faktiskt inte i matte =)

joda 

att du fortsätter envisas med att påpeka att det skulle finnas en sista siffra i ngt som går mot oändligheten efter en så lång diskussion är verkligen underligt. Det finns ingen felmarginal som ser ut som 0,000.....1. Varför skriver du den sista ettan? Den finns inte. Innan du förstår det kommer du inte fatta problemet heller

att 0.3333.. x3 kan antas vara 1 då 1/3 = 0.333 och 3*1/3 är 1 köper jag, då det beror på brister i talrepresentationen.. att dock helt sonika ställa upp 0.99.. och hävda att det är 1 är en annan femma..

Poängen är ju att själva likhetsdefinitionen i det reella talsystemet baseras på att "avståndet" mellan talen kan göras godtyckligt litet. De som inte vill acceptera detta gillar allså inte att "0" ersätts av "godtyckligt litet".

det kommer aldrig bli ett, om man inte avrundar. Punkt.

En talföljd {pn} i ett metriskt rum X konvergerar om det existerar en punkt p i X med följande egenskap: För varje e > 0 finns ett heltal N sådant att för n >= N har vi d(pn,p) < e. (Här är d avståndet i X.)

Vi kan i detta fall även säga att {pn} konvergerar mot p, eller att p är gränsvärdet av {pn} och vi skriver då pn -> p eller lim pn = 0.

Sedan, Låt {pn} vara en talföljd i X. Om p och p' är två element i X och om {pn} konvergerar mot p och p' så har vi p = p'.

Vi kan nu låta p = 1, p' = 0.99..., och {pn} = {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}. Eftersom {pn} uppenbarligen konvergerar mot 1 och 0.99... så har vi 1 = 0.99... .


am I right?

Jag orkar inte med detta mer, tycker det är kul att joda fortfarande snackar om infinitesmaler. Definitionen på ett infinitesmalt tal är väl att det ALLTID ->0, oavsett vad man multiplicerar det med (vilket är anledningen till att 0*oändligheten är odefinierat), det infinitesmala talet är alltså INTE 0.000....1 eftersom detta talet, oavsett hur många nollor, är ändligt-att det SLUTAR med en etta är väl bevis nog på att det inte är "oändligt" litet=(infinitesmalt). Det finns inget reellt tal som är oändligt litet eftersom detta skulle motsäga en av definitionerna på just reella tal. Med 0.999... är situationen annorlunda, det uppyller alla krav för att vara reellt...

jamen ett godtyckligt litet tal är väl likväl ett tal..
sen att det talet inte "finns" i den bemärkelse att det inte går att representera med talbasen 10 förändrar det något egentligen?

1/3 i talbasen 10 motsvaras EXAKT av 0.1 i talbasen 3.
motsvarade går enligt mig inte att göra EXAKT i talbasen 10.

därav problematiken..

då 1/3 = 0.333... (vilket i sig enligt mig inte är exakt)
så måste ju således 0.33.. x 3 bli 1


då

a/b = c 
a    = cb

således bör ju dock 0.33... *3 aldrig bli 0.99... utan 1
och således bör man ju inte på detta sättet beskriva 0.99.. = 1

0.1(3) = 1/3
0.2(3) = 2/3
1.0(3) = 3/3 = 1

0.1(3) * 3 = 1


så min fråga lyder som följer..

kan man på något sätt skriva talet 0.99... exakt i talbasen 10? =)


....


för övrigt kom jag in på denna fråga igår mer utav en slump..
dock en annan aspekt av de oändliga talen..

frågan löd som följer.. består en cirkel av ett oändligtantal hörn, eller 0 hörn?

Beror väl visserligen på definitionen av en cirkel, men för mig är något med oändligt antal hörn fortfarande bara en n-hörning där n är oo.. man kan således aldrig få en cirkel genom att uttöka antalet hörn.. då cirkeln saknar hörn =)

förvisso får ju n-hörningen där n = oo samma area som den cirkel som skulle motsvaras, men det beror väl på att en cirkels area är approximativ och infinisemalt inakurrativ?

Aja, hur ställer sig Whoas samlade mattekår i denna fråga..

Jag antar att man med liknande resonemang som i trådens grundfrågan helt enkelt likställer en cirkel med en n-hörning men jag skulle vilja höra hur ni resonerar kring det hela..

Bobby, ok.


När a -> b går
(a-b) -> 0

a-b kommer dock aldrig bli noll då
a = b aldrig kommer att ske.

varför finns det ett begrepp som behandlar dessa små värden om de inte existerar?

får att återgå till wiki.

InfinitesimalFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Jump to: navigation, search

In mathematics, an infinitesimal, or infinitely small number, is a number that is smaller in absolute value than any positive real number. A number x is an infinitesimal if and only if for every integer n, |nx| is less than 1, no matter how large n is. In that case, 1/x is larger in absolute value than any positive real number.

Nonzero infinitesimals are not members of the set of real numbers. In the cases of greatest interest, they are hyperreal numbers. Infinitesimal quantities are often represented using the Greek letter epsilon (ε) , or by means of differentials (such as dx and dy).

When used as an adjective in the vernacular, "infinitesimal" means extremely small.

är det själva representationen av talet som 0.00..1 du inte gillar så fine, vet inte hur jag annars ska representera det hela med ett oändligt antal decimaler..



 

jakob, ja det skulel inte förvåna mig om så är fallet,
angående multiplikationer av infinitisemala tal..

antar att det fungerar på samma sätt som tex division av oändligt stora diton..

ljudas 1/oo bör väl visserligen gå att definiera..

(nedanstående är antaganden från min sida så räkna till tio)

x < oo
x^x < oo

således bör ju x/oo bli infinisemalt?

dock enligt vår kära wiki

x/oo = 0

vilket enligt mig känns rätt skevt, vilket troligtvis inte förvånar mig.. det som förvånar mig är att ni blint följer matematiken utan att ifrågasätta den..

att man helt enkelt får finna sig i att matematiken ser ut som den gör är ju en sak.. de regler som gäller måste ju appliceras överlag för att vi alla ska förstå varandra.. så fine.. det är inte den delen jag ifrågasätter..

men varför komplicera beräkningen med oo genom att definiera x/oo som 0

det innebär ju följdaktligen att tex a/b = c != cb = a när oo är inblandat.. det hade ju onekligen så vitt jag kan se, varit enklare att anta att a/b -> 0 när b = oo då det skulle möjliggöra att cb = a då .... hmmm... kanske inte ;)

då kommer vi ju in på det jakob just nämnde.. multiplikationer av infisimemala tal.. (c i detta fall)

det skulle ju betyda att b * c != a :)

surt sa räven..

får lägga mig i denna fråga ;)

a/b får vara 0 för enkelhetens skull.. hur nu det gör saken enklare vet jag inte.. men tills vidare får det vara så =D

matematik at its best ;)

problemet kvarstår ju förvisso när det gäller b*c men det får va så :)

kan väl nöja mig med att de tal som behandlar oändlighetskonceptet är problematiska i definition..

men en fråga till..

vad gäller kring exponentiella beräkningar med b (b=oo nu med)

b^0
b^1
b^x
b^b

frost, ja 0.33.. är den bästa representationen av talet 1/3 som går att göra.. men det betyder väl inte att den är exakt?

en 6 åring hajjar det..
förstår inte varför vi ska problematisera saker ju äldre vi blir..

Seth och refused angående äpplet..

blandade väl inte ihop något..
om du delar(för att använda rätt terminologi för exemplet)
äpplet 3 gånger så har du 3 delar :)

det jag inte förstår dock, är ju

om man då delar äpplet a oändligt antal gånger b så borde ju c > 0

men uppenbarligen om nu wiki hade rätt i den frågan så är ju
a/b = 0

:(

känns skönt att jag hoppade av den matematiska banan :)

frost.. ärligt talat.. du borde vara mer mobbad i den här tråden än mig =)


3/3 = 1


1/3 * 3 = 3/3 = 1

problematiken ligger ju i att 0.33.. inte är en exakt repr. av 1/3

Jakob, läste just ditt inlägg där du nämnde problematiken kring representationen av talet.

således är jag nöjd.. som du nog kan utläsa av tidigare inlägg så accepterar jag självklart att så är fallet då 1/3 *3 är 1.

slutet gott allting gott? =)

jo, minns inte om jag skrev det tidigare..

(ja känner mig rätt ensam här idag)


vilket bråk motsvaras 0.99.. av?

sen, för att spinna vidare på lågstadienostalgin..

lärde man sig inte rätt tidigt att räkna med bråktal när sånna här problem uppstod (1/3, 0.333.. tex) just för att de inte gav exakta svar?

(nu gör det väl de likväl för den insatte, men varför ta det onödiga steget när man ska räkna med 1/3.. talet är ju representerat exakt som det är så varför trilskas med decimalföljder?)

frost, De som inte vill acceptera detta gillar allså inte att "0" ersätts av "godtyckligt litet".

prexissssss
:))

det enklaste sättet, nu när jag endå måste anses vara lite omvänd är ju att beskriva det hela såhär..


0.99.. /3 = 0.33...
0.33..     = 1/3
1/3 * 3   = 1

a/b * b   = a

och då inträffar ju följande =)

0.99.. /3 * 3 = 1

0.99..          = 1 :)


hoppas jakob blir riktigt glad nu ;)

joda
0.33... ÄR det samma som 1/3

precis som att 0.99... ÄR det samma som 1/1


Men jag håller med dig, det duger ju inte mycket till bevis eftersom man måste acceptera 0.99...=1 för att resten ska stämma.

Något man inte behöver med

c=0.99...
10c=9.99...
9c=9
c=1

heh.. den där gillar jag inte heller..
men det beror väl mer på att läraren som jag hade i den kursen var som hon var..

problematiken med den metoden är ju att 0.99.. x 10 slutar på en 9 vilket gör folk lite bittra :)

så där stöter du ju på samma problematik GJ..
eller tänker jag fel?

ja, 0.33.. är samma sak som 1/3, men det är ingen exakt representation..

0.1(3) går inte att exakt representera i talbasen 10 på annat sätt än i bråkform

Men om du inte accepterar att 1/3 är exakt 0.33... kan du rimligtvis inte acceptera 1/1=0.99...

Spelar ingen roll vad 10 c slutar på eftersom man tar ändå bort en oändlighet

Om vi bestämmer oändligheten till 3 så blir exemplet:

c=0.999      (dvs "noll komma oändligt antal nior)
10c=9.999  (dvs "nio komma oändligt antal nior")

9c=9.999-0.999=9
c=1


nu är ju oändligheten inte tre utan oändlig men

3=3
oändligheten=oändligheten

1/3 är inte exakt 0.33..
men det är så pass exakt som det kan bli =)

ytterligare en rätt knepig grej med resonemanget dök upp...


0.99.. /3 = 0.333..

0.33.. * 3 != 0.99.. :)

joda

Så länge alla förstår så ;)

ett annat sätt att beskriva det hela på är ju


0.99.. / 9 = 1/9

således är 0.99.. = 1 ;P

som sagt om du inte accepterar det ena kan du inte acceptera det andra

(0.99...)/3=1/3=0.33...

(0.33...)*3=(1/3)*3=1=0.99...

om det sista inte var ett skämt så står det samma sak i den övre raden som den undre?

klart man kan acceptera det hela.. jag accepterar inte att 0.33.. är EXAKT 1/3 utan endast att det är den mest EXAKTA återgivningen som är möjlig i talbasen 10 =)

det där har ja redan skrivit ;)

men det e tjusigare som jag skrev ovan och man slipper ett steg..

0.99.. / 9 = 1 / 9

Joda

0,33 kan approximeras med 1/3

men alltså 0.99.../9=1/9 <->
0.99.../a=1/a <->
 0.99...=1

ungefär som att x/y=z/y <-> x=z

"klart man kan acceptera det hela.. jag accepterar inte att 0.33... är EXAKT 1/3"

Ja det är klart man kan acceptera det hela :) men 0.33... grejen är ju exakt samma som 0.99... grejen


a=0.33(följt av oändligt antal treor)
10a=3 + a
9a=3
a=3/9=1/3

Joda

0.999... och 1.000... är olika som decimalutvecklingar, men som tal visar det sig att man måste tolka dem som samma.

0.333...3 med ändligt antal treor är en approximation till 1/3, men 0.333... med oändligt antal treor är decimalutvecklingen för 1/3.


Angående cirkeln; en cirkel kan betraktas som en regelbunden polygon med oändligt antal sidor. Omkretsen av en regelbunden n-hörning med avståndet 1 från symmetripunkten ut till hörnen närmar sig 2 pi då n ökar mot oändligheten.

joda:Det är just det att antalet 3:or är oändligt som gör att det inte är en approximation. Om vi vänder på det och säger att det INTE är 1/3. Isåfall skulle det betyda att en annan siffra än 3 skulle dyka upp i sifferföljden vilket det ju aldrig kommer att göra, det ser man ju redan efter en division i liggande stolen.

Dessutom:precis som det inte finns något reelt tal som är oändligt nära noll utan att vara noll (och noll är ingen approximation till detta talet-0 är det enda sättet man kan representera ett infinitesmalt tal när man räknar med reella tal eftersom 0+0+0+0+0+... fortfarande är 0. Tycker det är konstigt att du inte har några problem med att reresentera ett oändligt stort belopp med oändligheten men vägrar acceptera ett oändligt litet belopp som 0. De är varandras motsvarigheter) så finns det inget reellt tal som är oändligt nära 1 utan att vara 1.  0.999... är INTE detta talet, vill vi skriva ett tal som är "oändligt" nära 1 utan att vara 1 (t.ex vid gränsvärden där 1 ger division med 0) så får vi skriva 1- (eller 1+ om vi kommer från andra hållet)...

jamen är ni inte läskunniga längre..
jag har väl redan skrivit att jag köper konceptet

0.99.. /9 = 1/9

således är 0.99.. = 1

jakob, jag har inte nämnt att 0.33.. är en approximation, länge sen jag använde det ordet väl?

0.33.. är den mest exakta representation som går att göra av 1/3 om talbasen är 10.

allt jag har sagt. varför ens ifrågasätta faktum?

0.33.. är ingen exakt representation, vad är svårt att förstå.

1/4 = 0.25 exakt återgivning
1/3 = 0.33.. ej exakt återgivning.

detta då
a/b = c

a != bc

för a = 1, b = 3 blir det således följande

0.33.. * 3 = 0.99..

1/3 * 3 = 1

0.33.. = 1/3 ger
0.99 = 1

representationen av 1/3 som 0.33.. är således det som här orsakar problematiken..

nu har väl det visserligen inte så stor betydelse för 0.99.. = 1 i sig...


men som jag skrev tidigare..

0.99.. / 9 = 1 / 9
0.99.. = 1

0.999../3=0.333.. sant
1/3*3=1 sant
0.333..*3=1 hur fan?
jag menar spelar det någon roll om det är oändligt många treor, sista sifran är ju ändå en 3:a och 3*3 är vell alltid 9, oavsett antalet 3 innan. eller? 

jakob, sålänge du inte förnekar talets existens så e jag nöjd..

ja, att det stod samma sak i båda raderna var väl relativt uppenbart, det är väl så man stegvis utför operationer?
eller har jag missat någonting.. skadar väl aldrig att förtydliga..


Qaz, genom att 0.33.. = 1/3 och 1/3 * 3 = 1


(jakob och övriga)
men detta innebär ju då väl följande?

0.33.. * 3 != 0.99..
0.99.. / 3 = 0.33.. ?

eller struntar man helt enkelt i det och gör som så att

0.99.. / 3 = 0.33...

0.33.. * 3 = 0.99.. och 1
då 0.99.. = 1 ?

Nån som kan bringa klarhet i det hela..
ifrågasätter ingenting utan undrar mest av nyfikenhet hur man väljer att göra det hela..

men somsagt 0.33 behöver man ju inte använda..
känns enklare att förklara det genom

0.99.. / 9 = 1 / 9
0.99.. = 1

frost, ja.. precis det jag köper..


0.999... och 1.000... är olika som decimalutvecklingar, men som tal visar det sig att man måste tolka dem som samma.

att skriva 1.00... känns dock rätt onödigt då det väl räcker att skriva 1 ;)